(本题满分12分)2010年上海世博会上展馆与展馆位于观光路

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(本题满分12分)
2010年上海世博会上展馆与展馆位于观光路的同侧,在观光路上相距千米的两点分别测得，（在同一平面内），求展馆之间的距离.

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甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ , 且面试是否合格互不影响.

求: ( I ) 至少有 1 人面试合格的概率;

( II ) 签约人数 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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(1) 求 $7 C_{6}^{3} - 4 C_{7}^{4}$ 的值;

(2) 设 $m, n \in N^{*}, n ⩾ m$ , 求证:

$(m + 1) C_{m}^{m} + (m + 2) C_{m + 1}^{m} + (m + 3) C_{m + 2}^{m} + \dots + n C_{n - 1}^{m} + (n + 1) C_{n}^{m} = (m + 1) C_{n + 2}^{m + 2}$

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如图, 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 已知直线 $l : x - y - 2 = 0$ , 抛物线 $C : y^{2} = 2 px (p > 0)$

(1) 若直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点, 求抛物线 $C$ 的方程;

(2) 已知抛物线 $C$ 上存在关于直线 $l$ 对称的相异两点 $P$ 和 $Q$ .

①求证：线段 $PQ$ 的中点坐标为 $(2 - p, - p)$ ;

②求 $p$ 的取值范围.

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D.（选做题选修 $4 - 4$ ）

设 $a > 0, | x - 1 | < \frac{a}{3}, | y - 2 | < \frac{a}{3}$ ，求证： $| 2 x + y - 4 | < a$ 。

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C.（选做题选修 $4 - 3$ ）在平面之间坐标系 $xOy$ 中，已知直线 $I$ 的参数方程式为 $\{\begin{matrix} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix} (t 为参数)$ ，

椭圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = \cos θ, \\ y = 2 \sin θ \end{matrix} (θ$ 为参数）.设直线 $I$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ , $B$ 两点, 求线段 $AB$ 的长.

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