在一次数学活动课上，某校初三数学老师带领学生去测河宽，如图所

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在一次数学活动课上，某校初三数学老师带领学生去测河宽，如图所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行20米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈，sin31°≈）

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如图， $OA = 2$ ，以点 $A$ 为圆心，1为半径画 $⊙ A$ 与 $OA$ 的延长线交于点 $C$ ，过点 $A$ 画 $OA$ 的垂线，垂线与 $⊙ A$ 的一个交点为 $B$ ，连接 $BC$

（1）线段 $BC$ 的长等于　　；

（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：

①以点　　为圆心，以线段　　的长为半径画弧，与射线 $BA$ 交于点 $D$ ，使线段 $OD$ 的长等于 $\sqrt{6}$

②连 $OD$ ，在 $OD$ 上画出点 $P$ ，使 $OP$ 的长等于 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，请写出画法，并说明理由．

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一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．

（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；

（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．

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某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类型（分为书法、围棋、戏剧、国画共4类），并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布条形图．

最喜爱的传统文化项目类型频数分布表

根据以上信息完成下列问题：

（1）直接写出频数分布表中 $a$ 的值；

（2）补全频数分布条形图；

（3）若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？

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在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．

（1）若先从袋子中拿走 $m$ 个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”，则 $m$ 的值为　　；

（2）若将袋子中的球搅匀后随机摸出1个球（不放回），再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球，求两次摸到的球颜色相同的概率．

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某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图、表如下：

根据以上信息解决下列问题：

（1）在统计表中， $a$ 的值为　　， $b$ 的值为　　；

（2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为　　度；

（3）若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．

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