已知等差数列的公差,它的前n项和为,若且成等比数列.(I)求数列的通项公式;(II)设数列的前n项和为Tn,求Tn.
已知函数 f ( x ) = x 3 + k ln x ( k ∈ R ) , f ' ( x ) 为 f ( x ) 的导函数.
(Ⅰ)当 k = 6 时,
(i)求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程;
(ii)求函数 g ( x ) = f ( x ) - f ' ( x ) + 9 x 的单调区间和极值;
(Ⅱ)当 k ⩾ - 3 时,求证:对任意的 x 1 , x 2 ∈ [ 1 , + ∞ ) ,且 x 1 > x 2 ,有 f ' x 1 + f ' x 2 2 > f x 1 - f x 2 x 1 - x 2 .
已知 a n 为等差数列, b n 为等比数列, a 1 = b 1 = 1 , a 5 = 5 a 4 - a 3 , b 5 = 4 b 4 - b 3 .
(Ⅰ)求 a n 和 b n 的通项公式;
(Ⅱ)记 a n 的前 n 项和为 S n ,求证: S n S n + 2 < S n + 1 2 n ∈ N * ;
(Ⅲ)对任意的正整数 n ,设 c n = 3 a n - 2 b n a n a n + 2 , n 为奇数 , a n - 1 b n + 1 , n 为偶数 . 求数列 c n 的前 2 n 项和.
已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的一个顶点为 A ( 0 , - 3 ) ,右焦点为 F ,且 | OA | = | OF | ,其中 O 为原点.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)已知点 C 满足 3 OC ⃗ = OF ⃗ ,点 B 在椭圆上( B 异于椭圆的顶点),直线 AB 与以 C 为圆心的圆相切于点 P ,且 P 为线段 AB 的中点.求直线 AB 的方程.
如图,在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中, C C 1 ⊥ 平面 ABC , AC ⊥ BC , AC = BC = 2 , C C 1 = 3 ,点 D , E 分别在棱 A A 1 和棱 C C 1 上,且 AD = 1 CE = 2 , M 为棱 A 1 B 1 的中点.
(Ⅰ)求证: C 1 M ⊥ B 1 D ;
(Ⅱ)求二面角 B - B 1 E - D 的正弦值;
(Ⅲ)求直线 AB 与平面 D B 1 E 所成角的正弦值.
在 △ ABC 中,角所对的边分别为 a , b , c .已知 a = 2 2 , b = 5 , c = 13 .
(Ⅰ)求角 C 的大小;
(Ⅱ)求 sin A 的值;
(Ⅲ)求 sin 2 A + π 4 的值.