某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲、乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示.

(1) 请你直接写出甲厂的制版费及y_甲与x的函数解析式，并求出其证书印刷单价.
(2) 当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？
(3) 如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？

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如图，一次函数 $y = ax + b (a \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $A (- 2, 1)$ ， $B (1, - 2)$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出不等式 $ax + b ⩽ \frac{k}{x}$ 的解集．

题型：未知
难度：未知

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某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分） $:$

七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98

八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98

整理得到如下统计表：

年级	最高分	平均分	众数	方差
七年级	98	94	$m$	7.6
八年级	98	94	93	$s^{2}$

根据以上信息，完成下列问题：

（1）填空： $m =$ 　　；

（2）求表中 $s^{2}$ 的值，并判断两个年级中哪个年级成绩更稳定；

（3）七年级两名最高分选手分别记为： $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，八年级第一、第二名选手分别记为： $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．

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如图，在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 为等腰直角三角形， $∠ ACB = 90 °$ ，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ ， $C$ 的坐标分别为 $(1, 0)$ ， $(- 4, 0)$ ，抛物线的顶点为点 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $E$ 是直角三角形 $ABC$ 斜边 $AB$ 上的一个动点（不与 $A$ ， $B$ 重合），过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $F$ ，当线段 $FE$ 的长度最大时，求点 $E$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 $P$ ，使 $ΔPEF$ 是以 $EF$ 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AB$ 为直径， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 的切线分别交 $AB$ ， $AC$ 的延长线于 $E$ ， $F$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $AF ⊥ EF$ ；

（2）若 $AC = 6$ ， $CF = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ， $BD$ 平分 $∠ ABC$ ， $AC ⊥ BD$ ，垂足为点 $O$ ．

（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

（2）若 $CD = 3$ ， $BD = 2 \sqrt{5}$ ，求四边形 $ABCD$ 的面积．

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