春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买 型、 型两种型号的放大镜．若购买8个 型放大镜和5个 型放大镜需用220元；若购买4个 型放大镜和6个 型放大镜需用152元．
（1）求每个 型放大镜和每个 型放大镜各多少元；
（2）春平中学决定购买 型放大镜和 型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个 型放大镜？
已知：在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，且 ，作 ，垂足为点 ， 与 交于点 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2， 是 的中线，若 ， ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于 面积的2倍．
为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若军宁中学共有960名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？
综合与探究
如图1所示，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式
（2）点 在抛物线的对称轴上，求 的最小值；
（3）如图2所示， 是线段 的上一个动点，过点 垂直于 轴的直线与直线 和抛物线分别交于点 、 ．
①若以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，则 的面积为 ；
②若点 恰好是线段 的中点，点 是直线 上一个动点，在坐标平面内是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
注：二次函数 的顶点坐标为 ，
综合与实践
折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．
在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
实践操作
如图1，将矩形纸片 沿对角线 翻折，使点 落在矩形 所在平面内， 和 相交于点 ，连接 ．
解决问题
（1）在图1中，
① 和 的位置关系为 ；
②将 剪下后展开，得到的图形是 ；
（2）若图1中的矩形变为平行四边形时 ，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；
（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ；
拓展应用
（4）在图2中，若 ， ，当△ 恰好为直角三角形时， 的长度为 ．
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