如图,ΔABC中,BM、BN三等分∠ABC,CM、CN三等分, 且,求的度数。
如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系内, ΔABO 的三个顶点坐标分别为 A ( - 1 , 3 ) , B ( - 4 , 3 ) , O ( 0 , 0 ) .
(1)画出 ΔABO 关于 x 轴对称的△ A 1 B 1 O ,并写出点 A 1 的坐标;
(2)画出 ΔABO 绕点 O 顺时针旋转 90 ° 后得到的△ A 2 B 2 O ,并写出点 A 2 的坐标;
(3)在(2)的条件下,求点 A 旋转到点 A 2 所经过的路径长(结果保留 π ) .
先化简,再求值: ( a - a 2 a + 1 ) ÷ a 2 a 2 - 1 ,其中 a = 2 cos 60 ° + 1 .
如图,抛物线 y = a x 2 + bx + c 与 x 轴交于原点 O 和点 A ,且其顶点 B 关于 x 轴的对称点坐标为 ( 2 , 1 ) .
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)抛物线的对称轴上存在定点 F ,使得抛物线 y = a x 2 + bx + c 上的任意一点 G 到定点 F 的距离与点 G 到直线 y = - 2 的距离总相等.
①证明上述结论并求出点 F 的坐标;
②过点 F 的直线 l 与抛物线 y = a x 2 + bx + c 交于 M , N 两点.
证明:当直线 l 绕点 F 旋转时, 1 MF + 1 NF 是定值,并求出该定值;
(3)点 C ( 3 , m ) 是该抛物线上的一点,在 x 轴, y 轴上分别找点 P , Q ,使四边形 PQBC 周长最小,直接写出 P , Q 的坐标.
如图,已知 AB 是 ⊙ O 的直径. BC 是 ⊙ O 的弦,弦 ED 垂直 AB 于点 F ,交 BC 于点 G .过点 C 作 ⊙ O 的切线交 ED 的延长线于点 P
(1)求证: PC = PG ;
(2)判断 P G 2 = PD ⋅ PE 是否成立?若成立,请证明该结论;
(3)若 G 为 BC 中点, OG = 5 , sin B = 5 5 ,求 DE 的长.
如图,一次函数 y = kx + b 的图象与 y 轴的正半轴交于点 A ,与反比例函数 y = 4 x 的图象交于 P , D 两点.以 AD 为边作正方形 ABCD ,点 B 落在 x 轴的负半轴上,已知 ΔBOD 的面积与 ΔAOB 的面积之比为 1 : 4 .
(1)求一次函数 y = kx + b 的表达式;
(2)求点 P 的坐标及 ΔCPD 外接圆半径的长.