如图，点 为正方形 的对角线 上的一点，连接 并延长交 于点 ，交 的延长线于点 ， 是 的外接圆，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，正方形 的边长为4，求 的半径和线段 的长．
某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价 （元 与一次性批发量 （件 为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
（1）直接写出 与 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 ，箱长 ，拉杆 的长度都相等，即 ， ， 在 上， 在 上，支杆 ， ， ， ，请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求 的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点 到水平滑杆 的距离（结果保留根号）．
某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团： ．机器人， ．围棋， ．羽毛球， ．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中 所占扇形的圆心角为 ．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1000名学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；
（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
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