甲、乙两人骑自行车,同时从相距65千米的两地相向而行,甲的速度是17.5千米/时,乙的速度为15千米/时,经过几小时,两人相距32.5千米?
如图,点、、、在一条直线上,与交于点,,,求证:.
计算:.
如图1,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,抛物线与轴交于点,与轴交于点,.
(1)直接写出抛物线的解析式及其对称轴;
(2)如图2,连接,,设点是抛物线上位于第一象限内的一动点,且在对称轴右侧,过点作于点,交轴于点,过点作交于点,交轴于点.设线段的长为,求与的函数关系式,并注明的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若的面积为,
①求点的坐标;
②设为直线上一动点,连接,直线交直线于点,则点在运动过程中,在抛物线上是否存在点,使得为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点及其对应的点的坐标;若不存在,请说明理由.
若一个两位数十位、个位上的数字分别为,,我们可将这个两位数记为,易知;同理,一个三位数、四位数等均可以用此记法,如.
【基础训练】
(1)解方程填空:
①若,则 ;
②若,则 ;
③若,则 ;
【能力提升】
(2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字,可得到一个新数,则一定能被 整除,一定能被 整除,一定能被 整除;(请从大于5的整数中选择合适的数填空)
【探索发现】
(3)北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用,再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ;
②设任选的三位数为(不妨设,试说明其均可产生该黑洞数.
某食品厂生产一种半成品食材,成本为2元千克,每天的产量(百千克)与销售价格(元千克)满足函数关系式,从市场反馈的信息发现,该半成品食材每天的市场需求量(百千克)与销售价格(元千克)满足一次函数关系,部分数据如表:
销售价格(元千克)
2
4
10
市场需求量(百千克)
12
已知按物价部门规定销售价格不低于2元千克且不高于10元千克.
(1)直接写出与的函数关系式,并注明自变量的取值范围;
(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当每天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余的食材由于保质期短而只能废弃.
①当每天的半成品食材能全部售出时,求的取值范围;
②求厂家每天获得的利润(百元)与销售价格的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当为 元千克时,利润有最大值;若要使每天的利润不低于24(百元),并尽可能地减少半成品食材的浪费,则应定为 元千克.