如图，已知矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，延长AD到点E，使AE＝15，连结BE交AC于点P．
(1)求AP的长；
(2)若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由；
(3)已知以点A为圆心，r1为半径的动OA，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．
①则动⊙A的半径r1的取值范围是 ▲ ；
②若以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切，则r2的取值范围是 ▲ ．
；
；如图，在矩形OABC中，点A（0，10），C（8，0）.沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC， OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线
经过O，D，C三点．
（1）求D的的坐标及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米．学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如图）．其中矩形EFGH的一边EF在边BC上．其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上．现计划在△AHG上种草，每平方米投资6元；在△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元．
（1）当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
（2）当矩形EFGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小，最小值为多少？
小明和同桌小聪在课后做作业时，对课本中的一道作业题，进行了认真探索．
【作业题】如图1，一个半径为100m的圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，测得圆周角∠C=45°，求桥AB的长．
小明和小聪经过交流，得到了如下的两种解决方法：
方法一：延长BO交⊙O与点E，连接AE，得 Rt△ABE，∠E=∠C，∴AB=
；
方法二：作AB的弦心距OH，连接OB， ∴∠BOH=∠C，解Rt△OHB， ∴HB=
，∴AB=．
感悟：圆内接三角形的一边和这边的对锐角、圆的半径（或直径）这三者关系，可构成直角三角形，从而把一边和这边的对锐角﹑半径建立一个关系式．
（1）问题解决：受到（1）的启发，请你解下面命题：如图2，点A（3，0）、B（0，
），C为直线AB上一点，过A、O、C的⊙E的半径为2．求线段OC的长．
（2）问题拓展：如图3，△ABC中，∠ ACB=75°，∠ABC=45°，AB=
，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF， 设⊙O半径为x， EF为y．①y关于x的函数关系式；②求线段EF长度的最小值．
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