（2011福建泉州，18，9分）计算：.

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先化简，再求值： $1 - \frac{a^{2} + 4 ab + 4 b^{2}}{a^{2} - ab} \div \frac{a + 2 b}{a - b}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 满足 ${(a - \sqrt{2})}^{2} + \sqrt{b + 1} = 0$ ．

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计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} + {(2017 - π)}^{0} - \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} + 2 \cos 45 °$ ．

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已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0$ 、 $- 4)$ 与 $x$ 轴交于另一点 $C$ ，连接 $BC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图， $P$ 是第一象限内抛物线上一点，且 $S_{ΔPBO} = S_{ΔPBC}$ ，求证： $AP / / BC$ ；

（3）在抛物线上是否存在点 $D$ ，直线 $BD$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，使 $ΔABE$ 与以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $E$ 中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知正方形 $ABCD$ 与正方形 $CEFG$ ， $M$ 是 $AF$ 的中点，连接 $DM$ ， $EM$ ．

（1）如图1，点 $E$ 在 $CD$ 上，点 $G$ 在 $BC$ 的延长线上，请判断 $DM$ ， $EM$ 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；

（2）如图2，点 $E$ 在 $DC$ 的延长线上，点 $G$ 在 $BC$ 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；

（3）将图1中的正方形 $CEFG$ 绕点 $C$ 旋转，使 $D$ ， $E$ ， $F$ 三点在一条直线上，若 $AB = 13$ ， $CE = 5$ ，请画出图形，并直接写出 $MF$ 的长．

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为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价 $x$ （元）和游客居住房间数 $y$ （间）的信息，乐乐绘制出 $y$ 与 $x$ 的函数图象如图所示：

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？

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