如图①，
是正三角形，
是顶角
的等腰三角形，以
为顶点作一个
角，角两边分别交
边于
两点，连接
.（1）探究：线段
之间的关系，并加以证明。（2）若点
是
的延长线上的一点，
是
的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段之间的关系，在图中画出图形，并说明理由.
模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于
的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为，
，由矩形的面积为4，得
，即
；由周长为
，得
，即
．满足要求的
应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数的图象如图所示，而函数
的图象可由直线
平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线
．
（3）平移直线，观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点
时，周长
的值为 ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为 ．
学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个奖品和2个
奖品共需120元；购买5个
奖品和4个
奖品共需210元．
（1）求，
两种奖品的单价；
（2）学校准备购买，
两种奖品共30个，且
奖品的数量不少于
奖品数量的
．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像在高
的小山
上，在
处测得塑像底部
的仰角为
，再沿
方向前进
到达
处，测得塑像顶部
的仰角为
，求炎帝塑像
的高度．
（精确到．参考数据：
，
，
，
某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
．七年级成绩频数分布直方图：
．七年级成绩在
这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级 |
平均数 |
中位数 |
七 |
76.9 |
|
八 |
79.2 |
79.5 |
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人；
（2）表中的值为 ；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
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