设（1）若对任意的成立，求实数b的取值范围；（2）若存在成立

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更新 2022-09-03
科目数学
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难度未知
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设
（1）若对任意的成立，求实数b的取值范围；
（2）若存在成立，求实数b的取值范围。

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椭圆有两顶点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，过其焦点 $F (0, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $C, D$ 两点，并与 $x$ 轴交于点 $P$ ．直线 $A C$ 与直线 $B D$ 交于点 $Q$ ．

（Ⅰ）当 $|C D| = \frac{3}{2} \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

（Ⅱ）当点 $P$ 异于 $A$ 、 $B$ 两点时，求证： $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q}$ 为定值．

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设 $d$ 为非零实数, $a_{n} = \frac{1}{n} [C_{n}^{1} d + 2 C_{n}^{2} d^{2} + \dots + (n - 1) C_{n}^{n - 1} d^{n - 1} + n C_{n}^{n} d^{n}] (n \in N^{*})$ .

(I) 写出 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 并判断 $\{a_{n}\}$ 是否为等比数列.若是,给出证明；若不是,说明理由；
(II)设 $b_{n} = n d a_{n} (n \in N^{*})$ ,求数列 $\{b n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中． $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ． $D$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一 $P$ 是 $A D$ 的延长线与的 $A_{1} C_{1}$ 延长线的交点，且 $P B_{1} / /$ 平面 $B D A$ ．
(I)求证： $C D = C_{1} D$ ：
(II)求二面角 $A - A_{1} D - B$ 的平面角的余弦值；
(Ⅲ)求点 $C$ 到平面 $B_{1} D P$ 的距离．

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本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ ；两人租车时间都不会超过四小时.
（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列与数学期望 $E ξ$ .

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已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{7 π}{4}) + \cos (x - \frac{3 π}{4}), x \in R$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知 $\cos (β - α) = \frac{4}{5}, \cos (β + α) = - \frac{4}{5}$ ， $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ，求证： ${[f (β)]}^{2} - 2 = 0$ .

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