．（本小题满分14分）已知定义在上的奇函数满足，且对任意有．_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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．（本小题满分14分）已知定义在上的奇函数满足，且对任意有．
（Ⅰ）判断在上的奇偶性，并加以证明．
（Ⅱ）令，，求数列的通项公式．
（Ⅲ）设为的前项和，若对恒成立，求的最大值．

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如图， $A B$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ，直线 $A O$ 交 $⊙ O$ 于 $D, E$ 两点， $B C ⊥ D E$ 垂足为 $C$ .

（Ⅰ）证明： $∠ C B D = ∠ D B A$

（Ⅱ）若 $A D = 3 D C, B C = \sqrt{2}$ ，求 $⊙ O$ 的直径.

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设 $f_{n} (x) = x + x^{2} + \dots + x^{n} - 1, n \in N, n \geq 2$ .

（Ⅰ）求 ${f^{`}}_{n} (2)$ ；
（Ⅱ）证明： $f_{n} (x)$ 在 $(0, \frac{2}{3})$ 内有且仅有一个零点（记为 $a_{n}$ ），且 $0 < a_{n} - \frac{1}{2} < \frac{1}{3} {(\frac{2}{3})}^{n}$ .

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如图，椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (0, - 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）经过点，且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同两点 $P, Q$ （均异于点 $A$ ），证明：直线 $A P$ 与 $A Q$ 的斜率之和为2.

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随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

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如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, ∠ B A D = \frac{π}{2}, A B = B C = \frac{1}{2} A D = a,$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $O$ 是 $O C$ 与 $B E$ 的交点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起到图2中 $△ A_{1} B E$ 的位置，得到四棱锥 $A_{1} - B C D E$ .

（Ⅰ）证明： $C D ⊥$ 平面 $A_{1} O C$ ；
（Ⅱ）当平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ 时，四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 的体积为 $36 \sqrt{2}$ ，求 $a$ 的值.

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