（11·大连）（本题11分）如图，在平面直角坐标系中，点A、

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（11·大连）（本题11分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别
为(0，2)、(－1，0)、(4，0)．P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P
的直线x＝t与AC相交于点Q．设四边形ABPQ关于直线x＝t的对称的图形与△QPC重叠
部分的面积为S．
（1）点B关于直线x＝t的对称点B′的坐标为________；
（2）求S与t的函数关系式．

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如图1，在等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ A = 120 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $AB$ 、 $AC$ 上， $AD = AE$ ，连接 $BE$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $DE$ 、 $BE$ 、 $BC$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $NM$ 、 $NP$ 的数量关系是　　， $∠ MNP$ 的大小为　　．

（2）探究证明

把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $MP$ 、 $BD$ 、 $CE$ ，判断 $ΔMNP$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $ΔADE$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $AD = 1$ ， $AB = 3$ ，请求出 $ΔMNP$ 面积的最大值．

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如图，抛物线 $y = a x^{2} - 3 ax - 4 a$ 的图象经过点 $C (0, 2)$ ，交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 左侧），连接 $BC$ ，直线 $y = kx + 1 (k > 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $BC$ 上方的抛物线交于点 $E$ ，与 $BC$ 交于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

（2） $\frac{EF}{DF}$ 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：

型号

价格（元 $/$ 只）

项目

甲

乙

成本

售价

（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？

（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．

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东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了如图不完整的统计图表．

作业情况	频数	频率
非常好		0.22
较好	68
一般
不好	40

请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样共调查了多少名学生？

（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；

（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况"非常好"和"较好"的学生一共约多少名？

（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本"非常好"（记为 $A_{1}$ 、 $A_{2})$ ，1本"较好"（记为 $B)$ ，1本"一般"（记为 $C)$ ，这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用"列表法"或"画树状图"的方法求出两次抽到的作业本都是"非常好"的概率．

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如图， $C$ 处是一钻井平台，位于东营港口 $A$ 的北偏东 $60 °$ 方向上，与港口 $A$ 相距 $60 \sqrt{2}$ 海里，一艘摩托艇从 $A$ 出发，自西向东航行至 $B$ 时，改变航向以每小时50海里的速度沿 $BC$ 方向行进，此时 $C$ 位于 $B$ 的北偏西 $45 °$ 方向，则从 $B$ 到达 $C$ 需要多少小时？

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