如图，平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x=3$交 $y$轴于点 $A$， $P$为抛物线
上一点，且与点 $A$不重合．连结 $AP$，以 $AO$， $AP$为邻边作 $▱OAPQ$， $PQ$所在直线与 $x$轴交
于点 $B$．设点P的横坐标为 $m$．
（1）点 $Q$落在 $x$轴上时 $m$的值．
（3）若点 $Q$在 $x$轴下方，则 $m$为何值时，线段 $BQ$的长取最大值，并求出这个最大值．[参考公式：二次函数 $y=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}，\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$]