_优题课试题网

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 $O$ 为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 $AB$ 长为6米， $∠ OAB = 41.3 °$ ，若点 $C$ 为运行轨道的最高点 $(C$ ， $O$ 的连线垂直于 $AB)$ ，求点 $C$ 到弦 $AB$ 所在直线的距离．

（参考数据： $\sin 41.3 ° \approx 0.66$ ， $\cos 41.3 ° \approx 0.75$ ， $\tan 41.3 ° \approx 0.88)$

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{2}{1} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1}$ ，

第2个等式： $\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ ，

第3个等式： $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ ，

第4个等式： $\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}$ ，

第5个等式： $\frac{2}{9} = \frac{1}{5} + \frac{1}{45}$ ，

$\dots \dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　　；

（2）写出你猜想的第 $n$ 个等式：　　（用含 $n$ 的等式表示），并证明．

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析

为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 $12 \times 12$ 的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段 $AB$ ．

（1）将线段 $AB$ 向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段 $CD$ ，请画出线段 $CD$ ．

（2）以线段 $CD$ 为一边，作一个菱形 $CDEF$ ，且点 $E$ ， $F$ 也为格点．（作出一个菱形即可）

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析

在 $ΔABC$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $ΔABC$ 两边的中点，如果 $\hat{DE}$ 上的所有点都在 $ΔABC$ 的内部或边上，则称 $\hat{DE}$ 为 $ΔABC$ 的中内弧．例如，图1中 $\hat{DE}$ 是 $ΔABC$ 的一条中内弧．

（1）如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中， $AB = AC = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $AB$ ， $AC$ 的中点，画出 $ΔABC$ 的最长的中内弧 $\hat{DE}$ ，并直接写出此时 $\hat{DE}$ 的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点 $A (0, 2)$ ， $B (0, 0)$ ， $C (4 t$ ， $0) (t > 0)$ ，在 $ΔABC$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $AB$ ， $AC$ 的中点．

①若 $t = \frac{1}{2}$ ，求 $ΔABC$ 的中内弧 $\hat{DE}$ 所在圆的圆心 $P$ 的纵坐标的取值范围；

②若在 $ΔABC$ 中存在一条中内弧 $\hat{DE}$ ，使得 $\hat{DE}$ 所在圆的圆心 $P$ 在 $ΔABC$ 的内部或边上，直接写出 $t$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

收藏答案/解析