(本小题满分12分)为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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(本小题满分12分)
为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC,另外△AEF的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m．
(1)求直线EF的方程；
(2)应如何设计才能使草坪的占地面积最大？

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = (\sqrt{2} - 1) (a_{n} + 2), n = 1, 2, 3 . . . . . . . .$

（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 $\{b_{n}\}$ 中 $b_{1_{}} = 2, b_{n + 1} = \frac{3 b_{n} + 4}{2 b_{n} + 3}, n = 1, 2, 3 . . . . . . .$ ，证明：
$\sqrt{2} < b_{n} \leq a_{4 n - 3}, n = 1, 2, 3 . . . . . . .$

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已知椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ .过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $B, D$ 两点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $A, C$ 两点，且 $A B ⊥ C D$ ，垂足为 $P$ .
（Ⅰ）设 $P$ 点的坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ ，证明： $\frac{{x^{2}}_{0}}{3} + \frac{{y_{0}}^{2}}{2} < 1$ ；
（Ⅱ）求四边形 $A B C D$ 的面积的最小值.

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设函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$

（Ⅰ）证明: $f (x)$ 的导数 $f^{`} (x) ⩾ 2$ ；
（Ⅱ）若对所有 $x \geq 0$ 都有 $f (x) ⩾ a x$ ,求 $a$ 的取值范围.

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四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，侧面 $S B C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，已知 $∠ A B C = 45^{°}, A B = 2, B C = 2 \sqrt{2}, S A = S B = \sqrt{3}$ .

（Ⅰ）证明 $S A ⊥ B C$ ；
（Ⅱ）求直线 $S D$ 与平面 $S A B$ 所成角的大小.

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某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 $ξ$ 的分布列为

$ζ$	1	2	3	4	5
$P$	0.4	0.2	0.2	0.1	0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. $η$ 表示经销一件该商品的利润.
（Ⅰ）求事件 $A :$ "购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款"的概率 $P (A)$ ；
（Ⅱ）求 $η$ 的分布列及期望 $E η$ .

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