已知点 $O\left(0,0\right),Q_0\left(0,1\right)$和 $R_0\left(3,1\right)$,记 $Q_0{R}_0$的中点为 $P_1$,取 $Q_0{P}_1$和 $P_1{R}_0$中的一条,记其端点为 $Q_1、R_1$,使之满足 $\left(\left|O{Q}_1\right|-2\right)\left(\left|O{R}_1\right|-2\right)<0$;记 $Q_1{R}_1$的中点为 $P_2$,取 $Q_1{P}_2$和 $P_2{R}_1$中的一条,记其端点为 $Q_2、R_2$,使之满足 $\left(\left|O{Q}_2\right|-2\right)\left(\left|O{R}_2\right|-2\right)<0$;依次下去,得到点 $P_1,P_2,\cdots ,P_n,\cdots$,则 $\underset{n\to \infty }{lim}\left|Q_0{P}_n\right|=$.