．已知定圆圆心为A；动圆M过点且与圆A相切，圆心M的坐标为且

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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．已知定圆圆心为A；动圆M过点且与圆A相切，圆心M 的坐标为且，它的轨迹记为C。
（1）求曲线C的方程；
（2）过一点N（1，0）作两条互相垂直的直线与曲线C分别交于点P和Q，试问这两条直线能否使得向量互相垂直？若存在，求出点P，Q的横坐标，若不存在，请说明理由。

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在直角坐标系 $x o y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴为极轴建立极坐标系，半圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ ， $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ .
（1）求 $C$ 的参数方程；

（2）设点 $D$ 在 $C$ 上， $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $l : y = \sqrt{3} x + 2$ 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定 $D$ 的坐标.

题型：未知
难度：未知

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如图， $P$ 是 $O$ 外一点， $P A$ 是切线， $A$ 为切点，割线 $P B C$ 与 $O$ 相交于点 $B, C$ ， $P C = 2 P A$ ， $D$ 为 $P C$ 的中点， $A D$ 的延长线交 $O$ 于点 $E$ .

证明：（1） $B E = E C$ ；
（2） $A D \cdot D E = 2 P B^{2}$

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 x$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）设 $g (x) = f (2 x) - 4 b f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $g (x) > 0$ ,求 $b$ 的最大值；
（3）已知 $1.4142 < \sqrt{2} < 1.4143$ ，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到0.001）.

题型：未知
难度：未知

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设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点， $M$ 是 $C$ 上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ .
（1）若直线 $M N$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 $C$ 的离心率；
（2）若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为2，且 $|M N| = 5 |F_{1} N|$ ，求 $a, b$ .

题型：未知
难度：未知

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某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入 $y$ （单位：千元）的数据如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号 $t$	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入 $y$	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，

题型：未知
难度：未知

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