已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.

(1)求证：AN=BM;
(2)求证：△CEF为等边三角形

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解方程： $\frac{x}{x - 1} + 1 = \frac{2}{x - 1}$ ．

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计算： $\sqrt{9} + {(- 2)}^{2} - {(π - 3)}^{0}$ ．

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【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】

（1）如图①，对余四边形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 6$ ， $CD = 4$ ，连接 $AC$ ．若 $AC = AB$ ，求 $\sin ∠ CAD$ 的值；

（2）如图②，凸四边形 $ABCD$ 中， $AD = BD$ ， $AD ⊥ BD$ ，当 $2 C D^{2} + C B^{2} = C A^{2}$ 时，判断四边形 $ABCD$ 是否为对余四边形．证明你的结论；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (1, 2)$ ，四边形 $ABCD$ 是对余四边形，点 $E$ 在对余线 $BD$ 上，且位于 $ΔABC$ 内部， $∠ AEC = 90 ° + ∠ ABC$ ．设 $\frac{AE}{BE} = u$ ，点 $D$ 的纵坐标为 $t$ ，请直接写出 $u$ 关于 $t$ 的函数解析式．

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已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过 $A (2, 0)$ ， $B (3 n - 4, y_{1})$ ， $C (5 n + 6, y_{2})$ 三点，对称轴是直线 $x = 1$ ．关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + bx + c = x$ 有两个相等的实数根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $n < - 5$ ，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小；

（3）若 $B$ ， $C$ 两点在直线 $x = 1$ 的两侧，且 $y_{1} > y_{2}$ ，求 $n$ 的取值范围．

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矩形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $AD = 12$ ．将矩形折叠，使点 $A$ 落在点 $P$ 处，折痕为 $DE$ ．

（1）如图①，若点 $P$ 恰好在边 $BC$ 上，连接 $AP$ ，求 $\frac{AP}{DE}$ 的值；

（2）如图②，若 $E$ 是 $AB$ 的中点， $EP$ 的延长线交 $BC$ 于点 $F$ ，求 $BF$ 的长．

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