判断方程所表示的曲线
已知复数，为虚数单位，. （1）当复数纯虚数，求的值； （2）当复数在复平面上的对应点位于第二、四象限角平分线上，求的值； （3）若，求
已知，函数． （1）求的单调区间和值域； （2）设，若，总，使得成立，求的取值范围； （3）对于任意的正整数，证明：．
在中，满足,是中点. （1）若,求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若是线段上任意一点，且，求的最小值； （3）若点是边上一点，且,，,求的最小值.
若定义在R上的函数对任意的，都有成立，且当时，． (1)求的值；（2）求证：是R上的增函数； (3) 若，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线。当时，曲线是二次函数图象的一部分，其中对称轴为；当时，曲线是函数图象的一部分。根据专家研究，当注意力指数大于或等于80时听课效果最佳． （1）试求的函数关系式； （2）老师在什么时间段内安排核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
所表示的曲线
，
为虚数单位，
.
纯虚数，求
的值；
，求
，函数
．
的单调区间和值域；
，若
，总
，使得
成立，求
的取值范围；
，证明：
．
中，满足
,
是
中点.
,求向量
与向量
的夹角的余弦值；
是线段
上任意一点，且
，求
的最小值；
是
,
，
,求
的最小值.
对任意的
，都有
成立，且当
时，
．
的值；（2）求证：
是R上的增函数；
，不等式
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围．
与听课时间
之间的关系满足如图所示的曲线。当
时，曲线是二次函数图象的一部分，其中对称轴为
；当
时，曲线是函数
图象的一部分。根据专家研究，当注意力指数
的函数关系式；
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