已知椭圆，且C₁，C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点。
（1）求椭圆的焦点坐标及m=0，时的焦点坐标；
（2）当AB⊥x轴时，判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；
（3）是否存在m，p的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m，p的值；若不存在，请说明理由。