设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有且当（1）求证：f（

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有且当
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2）求证：f（x）在R上递减。

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D.（选做题选修 $4 - 4$ ）

设 $a > 0, | x - 1 | < \frac{a}{3}, | y - 2 | < \frac{a}{3}$ ，求证： $| 2 x + y - 4 | < a$ 。

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C.（选做题选修 $4 - 3$ ）在平面之间坐标系 $xOy$ 中，已知直线 $I$ 的参数方程式为 $\{\begin{matrix} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix} (t 为参数)$ ，

椭圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = \cos θ, \\ y = 2 \sin θ \end{matrix} (θ$ 为参数）.设直线 $I$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ , $B$ 两点, 求线段 $AB$ 的长.

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B.（选择题选修 4－2）已知矩阵 $A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & - 2 \end{matrix}]$ , 矩阵 $B$ 的逆矩阵 $B^{- 1} = [\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ , 求矩阵 $AB$ .

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记 $U = {1, 2, \dots, 100}$ . 对数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 和 $U$ 的子集 $T$ , 若 $T = \emptyset$ , 定义 $S_{T} = 0;$ 若

$T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{k}\}$ , 定义 $S_{T} = a_{t_{1}} + a_{t_{2}} + \dots + a_{t_{k}}$ . 例如 : $T = {1, 3, 66}$ 时 ,

$S_{T} = a_{1} + a_{3} + a_{66} .$ 现设 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 是公比为 3 的等比数列, 且当 $T = {2, 4}$ 时,

$S_{T} = 30$

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 对任意正整数 $k (1 \leq k \leq 100)$ , 若 $T \subseteq {1, 2, \dots, k}$ , 求证: $S_{T} < a_{k + 1}$ ;

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