已知数列 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{b_n\right\}$与函数 $f\left(x\right)$， $g\left(x\right)$， $x\in R$满足条件： $a_n=b_n$， $f\left(b_n\right)=g\left(b_{n+1}\right)$.( $n\in N^{*}$)

（I）若 $f\left(x\right)\ge tx+1,t\ne 0,t\ne 2,$ $g\left(x\right)=2x$， $f\left(b\right)\ne g\left(b\right)$， $\underset{n\to \infty }{lim}{a}_n$存在，求 $x$的取值范围；
（II）若函数 $y=f\left(x\right)$为 $R$上的增函数， $g\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)$， $b=1$， $f\left(1\right)<1$，证明对任意 $n\in N^{*}$， $\underset{n\to \infty }{lim}{a}_n$（用 $t$表示）．