设数列{an}满足a12,an1an3×22n1（1）求数列

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} - a_{n} = 3 \times 2^{2 n - 1}$

（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）令 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关?
（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名?
（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．

题型：未知
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设函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + \frac{π}{6}), ω > 0, x \in (- \infty, + \infty)$ ，且以 $\frac{π}{2}$ 为最小正周期．
（1）求 $f (0)$ ；
（2）求 $f (x)$ 的解析式；
（3）已知 $f (\frac{α}{4} + \frac{π}{12}) = \frac{9}{5}$ ，求 $\sin α$ 的值．

题型：未知
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已知函数 $f (x) = \sqrt{x}, g (x) = a \ln x, a \in R$ .
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 相交，且在交点处有相同的切线，求 $a$ 的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数 $k (x) = f (x) - g (x)$ ,当 $k (x)$ 存在最小值时，求其最小值 $φ (a)$ 的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的 $φ (a)$ ，证明：当 $a \in (0, + \infty)$ 时， $φ (a) \leq 1$ .

题型：未知
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如图，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的顶点为 $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ ，焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ， $|A_{1} B_{1}| = \sqrt{7}, S_{B_{1} A_{1} B_{2} A_{2}} = 2 S_{B_{1} F_{1} B_{2} F_{2}}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
(Ⅱ)设 $n$ 为过原点的直线， $l$ 是与 $n$ 垂直相交于 $P$ 点，与椭圆相交于 $A, B$ 两点的直线， $|\overset{⇀}{O P}| = 1$ .是否存在上述直线 $l$ 使 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = 0$ 成立？若存在，求出直线 $l$ 的方程；并说出；若不存在，请说明理由.

题型：未知
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为了解学生身高情况，某校以 $10 %$ 的比例对全校 $700$ 名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在 $170 ~ 185 c m$ 之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在 $180 ~ 190 c m$ 之间的男生中任选 $2$ 人，求至少有 $1$ 人身高在 $185 ~ 190 c m$ 之间的概率.

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