设函数 $g\left(x\right)=x^2-2\left(x\in R\right)$， $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)+x+4,x<g\left(x\right)\\ g\left(x\right)-x,x\ge g\left(x\right)\end{array}\right.$则 $f\left(x\right)$的值域是（）

A．

$\left[-\frac{9}{4},0\right]\cup \left(1,+\infty \right)$

B．

$[0,+\infty )$

C．

$[-\frac{9}{4},+\infty )$

D．

$\left[-\frac{9}{4},0\right]\cup \left(2,+\infty \right)$