.设集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合:① ② 是与无关的常数.(Ⅰ)若是等差数列,是其前n项的和,,证明:;(Ⅱ)设数列的通项为,求的取值范围;(Ⅲ)设数列的各项均为正整数,且,试证.
【改编】(本小题满分12分)已知三棱柱中,侧棱垂直于底面,点在上.(Ⅰ)若是中点,求证:平面;(Ⅱ)当时,求三棱锥的体积.
(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂的产品质量,分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克),其测量数据的茎叶图如下:规定:当产品中此种元素含量大于18毫克时,认定该产品为优等品.(Ⅰ)试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小;(Ⅱ)现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件,求至少抽到一件该元素含量为10毫克或13毫克的产品的概率.
(本小题满分12分) 已知向量,,设函数.(Ⅰ)求的单调递增区间;(Ⅱ)在△中,、、分别是角、、的对边,若,,求.
(本小题满分10分)对于给定的函数,定义如下:,其中.(1)当时,求证:;(2)当时,比较与的大小;(3)当时,求的不为0的零点.
射击测试有两种方案,方案1:先在甲靶射击一次,以后都在乙靶射击;方案2:始终在乙靶射击,某射手命中甲靶的概率为,命中一次得3分;命中乙靶的概率为,命中一次得2分,若没有命中则得0分,用随机变量表示该射手一次测试累计得分,如果的值不低于3分就认为通过测试,立即停止射击;否则继续射击,但一次测试最多打靶3次,每次射击的结果相互独立。(1)如果该射手选择方案1,求其测试结束后所得分的分布列和数学期望E;(2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大?请说明理由。