已知曲线 $C_1:\frac{\left|x\right|}{a}+\frac{\left|y\right|}{b}=1(a>b>0)$所围成的封闭图形的面积为 $4\sqrt{5}$，曲线 $C_1$的内切圆半径为 $\frac{2\sqrt{5}}{3}$．记 $C_2$为以曲线 $C_1$与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆 $C_2$的标准方程；
（Ⅱ）设 $AB$是过椭圆 $C_2$中心的任意弦， $l$是线段 $AB$的垂直平分线． $M$是 $l$上异于椭圆中心的点．
（1）若 $\left|MO\right|=\lambda \left|OA\right|$（ $O$为坐标原点），当点 $A$在椭圆 $C_2$上运动时，求点 $M$的轨迹方程；
（2）若 $M$是 $l$与椭圆 $C_2$的交点，求 $△AMB$的面积的最小值．