数列满足，.（1）求通项公式；（2）令，数列前项和为，求证：

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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数列满足，.
（1）求通项公式；
（2）令，数列前项和为，
求证：当时，；
（3）证明：.

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设 $△ A B C$ 是锐角三角形， $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 所对边长，并且 $\sin^{2} A = \sin (\frac{π}{3} + B) \sin (\frac{π}{3} - B) + \sin^{2} B$ ，

(Ⅰ)求角 $A$ 的值；

(Ⅱ)若 $\overset{⇀}{A B \cdot} \overset{⇀}{A C} = 12$ , $a = 2 \sqrt{7}$ ，求 $b, c$ (其中 $b < c$ )．

题型：未知
难度：未知

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已知 $∆ A B C$ 的三边长为有理数
（1）求证 $\cos A$ 是有理数;
（2）对任意正整数 $n$ ,求证 $\cos n A$ 也是有理数.

题型：未知
难度：未知

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某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立.
（1）记 $X$ 单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求 $X$ 的分布列.
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

题型：未知
难度：未知

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（1）几何证明选讲
$A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D$ 为 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 延长线于 $C$ ，若 $D A = D C$ ，求证 $A B = 2 B C$ .

（2）矩阵与变换
在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (0, 0), B (- 3, 0), C (- 2, - 1)$ ,设 $k \neq 0, k \in R$ ， $M = [\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}], N = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ ,点 $A, B, C$ 在矩阵 $M N$ 对应的变换下得到点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, △ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的2倍，求实数 $k$ 的值
（3）参数方程与极坐标
在极坐标系中，圆 $ρ = 2 \cos θ$ 与直线 $3 ρ c s θ + 4 ρ \sin θ + a = 0$ 相切，求实数 $a$ 的值.
（4）不等式证明选讲
已知实数 $a, b \geq 0$ ，求证： $a^{3} + b^{3} \geq \sqrt{a b} (a^{2} + b^{2})$ .

题型：未知
难度：未知

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设 $f (x)$ 使定义在区间 $(1, + \infty)$ 上的函数，其导函数为 $f ` (x)$ .如果存在实数 $a$ 和函数 $h (x)$ ，其中 $h (x)$ 对任意的 $x \in (1, + \infty)$ 都有 $h (x) > 0$ ，使得 $f ` (x) = h (x) (x^{2} - a x + 1)$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (a)$ .
(1)设函数 $f (x) = h (x) + \frac{b + 2}{x + 1} (x > 1)$ ，其中 $b$ 为实数
①求证：函数 $f (x)$ 具有性质 $P (b)$ ;

②求函数 $f (x)$ 的单调区间
(2)已知函数 $g (x)$ 具有性质 $P (2)$ ，给定 $x_{1}, x_{2} \in (1, + \infty), x_{1} < x_{2}$ ,设 $m$ 为实数. $α = m x_{1} + (1 - m) x_{2}, β = (1 - m) x_{1} + m x_{2}$ ，且 $α > 1, β > 1$ ，若 $|g (α) - g (β)| < |g (x_{1}) - g (x_{2})|$ ,求 $m$ 的取值范围

题型：未知
难度：未知

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