（本小题12分）如图，曲线是以原点为中心，以、为焦点的椭圆的

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小题12分）

如图，曲线是以原点为中心，以、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点，以为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的交点，且为钝角，若，．
（I）求曲线和所在的椭圆和抛物线的方程；
（II）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线、依次交于、、、四点（如图），若为的中点，为的中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

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（1）已知函数 $f (x) = r x - x^{`} + (1 - r) (x > 0)$ ，其中 $r$ 为有理数，且 $0 < r < 1$ . 求 $f (x)$ 的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：设 $a_{1} \geq 0, a_{2} \geq 0$ ， $b_{1}, b_{2}$ 为正有理数. 若 $b_{1} + b_{2} = 1$ ，则 $a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}} \leq a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ ；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注：当 $α$ 为正有理数时，有求导公式 ${(x^{α})}^{`} = α x^{α - 1}$ .

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（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，其中 $P$ 在第一象限，它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$ ，直线 $Q N$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$ . 是否存在 $m$ ，使得对任意的 $k > 0$ ，都有 $P Q ⊥ P H$ ？若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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降水量 $X$	$X < 300$	$300 \leq X < 700$	$700 \leq X < 900$	$X \geq 900$
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历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 $X$ 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：
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（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.

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