对于正整数 $n⩾2$，用 $T_n$表示关于 $x$的一元二次方程 $x^2+2ax+b=0$有实数根的有序数组 $(a,b)$的组数，其中 $a,b\in \{1,2,\dots ,n\}$（ $a$和 $b$可以相等）；对于随机选取的 $a,b\in \{1,2,\dots ,n\}$（ $a$和 $b$可以相等），记 $P_n$为关于 $x$的一元二次方程 $x^2+2ax+b=0$有实数根的概率.
（1）求 $T_{n^2}$和 $P_{n^2}$；
（2）求证：对任意正整数 $n⩾2$，有 $P_n>1-\frac{1}{\sqrt{n}}$。