2009年一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间位于192吨到3246吨,船员的人数从5人到32人,船员的人数关于船的吨位的回归分析得到如下结果:船员人数=9.1+0.006×吨位.(1)假定两艘轮船吨位相差1000吨,船员平均人数相差多少?(2)对于最小的船估计的船员数为多少?对于最大的船估计的船员数是多少?
已知函数(). (Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)若对任意恒成立,求实数的取值范围(为自然常数); (Ⅲ)求证:(,).
已知直线与椭圆相交于两点. (Ⅰ)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段的长; (Ⅱ)若向量与向量互相垂直(其中为坐标原点),当椭圆的离心率时,求椭圆的长轴长的最大值.
如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线,且,且∥. (Ⅰ)设点为棱中点,求证:平面; (Ⅱ)线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值等于?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.
甲、乙、丙三班进行知识竞赛,每两班比赛一场,共赛三场.每场比赛胜者得分,负者得分,没有平局,在每一场比赛中,甲班胜乙班的概率为,甲班胜丙班的概率为,乙班胜丙班的概率为. (Ⅰ)求甲班获第一名且丙班获第二名的概率; (Ⅱ)设在该次比赛中,甲班得分为,求的分布列和数学期望.
已知,其中,,. (Ⅰ)求的单调递减区间; (Ⅱ)在中,角所对的边分别为,,,且向量与共线,求边长和的值.