计算下列定积分(1)x(x+1)dx;(2) (e2x+)dx;(3) sin2xdx.
(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵.(1)矩阵对应的变换把直线变为直线,求直线的方程;(2)求的逆矩阵.
(本小题满分14分)已知函数().(1)若为函数的极值点,求的值;(2)若,已知,,若直线、及直线与函数的图象所围成的封闭图形如阴影部分所示,求阴影面积关于的函数的最小值;证明不等式:.
(本小题满分13分)已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,求,满足的关系式;如图,、为椭圆的左、右焦点,作,,垂足分别为、,四边形的面积是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.
(本小题满分13分)如图1,在中,,,,、分别为、的中点,连接并延长交于,将沿折起,使平面平面,如图2所示.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;(3)在线段上是否存在点使得平面?若存在,请指出点的位置;若不存在,说明理由.
(本小题满分13分)根据新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在,各类人群可正常活动.某市环保局在2014年对该市进行为期一年的空气质量检测,得到每天的空气质量指数,从中随机抽取50个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为,,,,,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.(1)求的值;(2)根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值;(3)用这50个样本数据来估计全年的总体数据,将频率视为概率.如果空气质量指数不超过20,就认定空气质量为“最优等级”.从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值,其中达到“最优等级”的天数为,求的分布列和数学期望.