现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

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设不等式 $|2 x - 1| < 1$ 的解集为 $M$ .
（I）求集合 $M$ ；
（II）若 $a, b \in$ $M$ ，试比较 $a b + 1$ 与 $a + b$ 的大小.

题型：未知
难度：未知

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在直接坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的方程为 $x - y + 4 = 0$ ，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = \sqrt{3} \cos a \\ y = \sin a \end{cases}$ .
（I）已知在极坐标（与直角坐标系 $x O y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点 $P$ 的极坐标为 $(4, \frac{π}{2})$ ，判断点 $P$ 与直线 $l$ 的位置关系；
（II）设点 $Q$ 是曲线 $C$ 上的一个动点，求它到直线 $l$ 的距离的最小值.

题型：未知
难度：未知

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设矩阵 $M = (\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & b \end{matrix})$ （其中 $a > 0, b > 0$ ）.
（I）若 $a = 2, b = 3$ ，求矩阵M的逆矩阵 $M^{- 1}$ ；
（II）若曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线 $C ` : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，求 $a, b$ 的值.

题型：未知
难度：未知

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D, A B + A D = 4, C D = \sqrt{2}, ∠ C D A = 45^{°}$ .

（I）求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；
（II）设 $A B = A P$ .
（i）若直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成的角为 $30^{°}$ ，求线段 $A B$ 的长；
（ii）在线段 $A D$ 上是否存在一个点 $G$ ，使得点 $G$ 到点 $P, B, C, D$ 的距离都相等？说明理由.

题型：未知
难度：未知

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某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数 $X$ 依次为1,2，……，8，其中 $X \geq 5$ 为标准 $A$ ， $X \geq 3$ 为标准 $B$ ，已知甲厂执行标准 $A$ 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准 $B$ 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数 $X_{1}$ 的概率分布列如下所示：

且 $X_{1}$ 的数字期望 $E X_{1}$ =6，求 $a, b$ 的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数 $X_{2}$ ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 $X_{2}$ 的数学期望.
(III)在（I）、（II）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.

题型：未知
难度：未知

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