已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：当燃料重量为吨（e为自然对数的底数，）时，该火箭的最大速度为4（km/s）.（Ⅰ）求火箭的最大速度与燃料重量x吨之间的函数关系式；（Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？

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如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方形， $O$ 是 $B D$ 的中点， $E$ 是棱 $A A_{1}$ 上任意一点.

（Ⅰ）证明： $B D$ $⊥ E C_{1}$ ；
（Ⅱ）如果 $A B$ = $2$ , $A E$ = $\sqrt{2}$ , $O E ⊥ E C_{1}$ , 求 $A A_{1}$ 的长.

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若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 $1 m m$ 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取 $5000$ 件进行检测，结果发现有 $50$ 件不合格品。计算这 $50$ 件不合格品的直径长与标准值的差（单位： $m m$ ）, 将所得数据分组，得到如下频率分布表：

分组	频数	频率
[-3, -2)		0.10
[-2, -1)	8
（1,2]		0.50
（2,3]	10
（3,4]
合计	50	1．00

（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在相应位置；
（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率；
（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。

题型：未知
难度：未知

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设定义在（ $0, + \infty$ ）上的函数 $f (x) = a x + \frac{1}{a x} + b (a > 0)$

(Ⅰ)求 $f (x)$ 的最小值；
(Ⅱ)若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = \frac{3}{2} x$ ，求 $a, b$ 的值。

题型：未知
难度：未知

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设△ $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$ ，且有 $2 \sin B \cos A = \sin A \cos C + \cos A \sin C$ .

（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；
(Ⅱ)若 $b = 2, c = 1, D$ 为 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的长.

题型：未知
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若函数 $h (x)$ 满足
（1） $h (0) = 1, h (1) = 0$ ；
（2）对任意 $a \in [0, 1]$ ，有 $h (h (a)) = a$ ；
（3）在（0,1）上单调递减。则称 $h (x)$ 为补函数。已知函数 $h (x) = (\frac{1 - x^{p}}{1 + λ x^{p}})^{\frac{1}{p}} (λ > - 1, p > 0)$ .

（1）判函数 $h (x)$ 是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在 $m \in [0, 1]$ ，使得 $h (m) = m$ ，若 $m$ 是函数 $h (x)$ 的中介元，记 $p = \frac{1}{n} (n \in N^{*})$ 时 $h (x)$ 的中介元为 $x_{n}$ ，且 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ ，若对任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 $S_{n} < \frac{1}{2}$ ,求 $λ$ 的取值范围；
（3）当 $λ = 0$ ， $x \in (0, 1)$ 时，函数 $y = h (x)$ 的图像总在直线 $y = 1 - x$ 的上方，求P的取值范围。

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