有四个关于三角函数的命题：
$p_1$: $\exists x\in R$, ${\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$

$p_2$: $\exists x$、 $y\in R$, $\sin (x-y)=\sin x-\sin y$

$p_3$: $\forall x\in \left[0,\pi \right],\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}=\sin x$

$p_4$: $\sin x=\cos y\Rightarrow x+y=\frac{\pi }{2}$

其中假命题的是(     )

A．

$p_1,p_4$

B．

$p_2,p_4$

C．

$p_1,p_3$

D．

$p_2,p_3$