2020年湖南省衡阳市中考数学试卷

$-3$ 的相反数是 $($ 　　 $)$

下列各式中，计算正确的是 $($ 　　 $)$

2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

下列各式中正确的是 $($ 　　 $)$

下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 $($ 　　 $)$

要使分式 $\frac{1}{x-1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 和 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，下列条件不能判断四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形的是 $($ 　　 $)$

下列不是三棱柱展开图的是 $($ 　　 $)$

不等式组 $\left\{\begin{array}{c}x-1⩽0,①\\ \frac{x+2}{3}-\frac{x}{2}<1②\end{array}\right.$ 的解集在数轴上表示正确的是 $($ 　　 $)$

反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 经过点 $(2,1)$ ，则下列说法错误的是 $($ 　　 $)$

如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 $x$ 米，则根据题意，列方程为 $($ 　　 $)$

如图1，在平面直角坐标系中， $▱\mathit{ABCD}$ 在第一象限，且 $\mathit{BC}//x$ 轴．直线 $y=x$ 从原点 $O$ 出发沿 $x$ 轴正方向平移，在平移过程中，直线被 $▱\mathit{ABCD}$ 截得的线段长度 $n$ 与直线在 $x$ 轴上平移的距离 $m$ 的函数图象如图2所示．那么 $▱\mathit{ABCD}$ 的面积为 $($ 　　 $)$

因式分解：$a^2+a=$　　．

计算：$\frac{x^2+x}{x}-x=$　　．

已知一个$n$边形的每一个外角都为$30°$，则$n$等于　　．

一副三角板如图摆放，且$\mathit{AB}//\mathit{CD}$，则$\angle 1$的度数为　　．

某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有　　名．

如图，在平面直角坐标系中，点$P_1$的坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2})$，将线段$O{P}_1$绕点$O$按顺时针方向旋转$45°$，再将其长度伸长为$O{P}_1$的2倍，得到线段$O{P}_2$；又将线段$O{P}_2$绕点$O$按顺时针方向旋转$45°$，长度伸长为$O{P}_2$的2倍，得到线段$O{P}_3$；如此下去，得到线段$O{P}_4$，$O{P}_5$，$\dots$，$O{P}_n(n$为正整数），则点$P_{2020}$的坐标是　　．

化简： $b(a+b)+(a+b)(a-b)$ ．

一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和 $n$ 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

（1）求 $n$ 的值；

（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle B=\angle C$ ，过 $\mathit{BC}$ 的中点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ；

（2）若 $\angle \mathit{BDE}=40°$ ，求 $\angle \mathit{BAC}$ 的度数．

病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战"疫"中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组： $100⩽x<500$ ， $500⩽x<900$ ， $900⩽x<1300$ ， $1300⩽x<1700$ ， $1700⩽x<2100$ ， $2100⩽x<2500$ ．

根据以上信息回答问题：

（1）补全频数分布直方图．

（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．

据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有"90后"也有"00后"，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关"90后"医务人员的数据：

$C$ 市派出的1614名医护人员中有404人是"90后"；

$H$ 市派出的338名医护人员中有103人是"90后"；

$B$ 市某医院派出的148名医护人员中有83人是"90后"．

（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，"90后"大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）

小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线 $\mathit{OB}$ 与底板的边缘线 $\mathit{OA}$ 所在水平线的夹角为 $120°$ 时，感觉最舒适（如图① $)$ ．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点 $B$ 、 $O$ 、 $C$ 在同一直线上， $\mathit{OA}=\mathit{OB}=24\mathit{cm}$ ， $\mathit{BC}\perp \mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{OAC}=30°$ ．

（1）求 $\mathit{OC}$ 的长；

（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 $O{B}^{\text{'}}$ 与水平线的夹角仍保持 $120°$ ，求点 $B\text{'}$ 到 $\mathit{AC}$ 的距离．（结果保留根号）

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AD}$ 平分 $\angle \mathit{BAC}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 和点 $D$ 的圆，圆心 $O$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上， $\odot O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．

（1）判断 $\mathit{BC}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AD}=8$ ， $\mathit{AE}=10$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，关于 $x$ 的二次函数 $y=x^2+\mathit{px}+q$ 的图象过点 $(-1,0)$ ， $(2,0)$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当 $-2⩽x⩽1$ 时， $y$ 的最大值与最小值的差；

（3）一次函数 $y=(2-m)x+2-m$ 的图象与二次函数 $y=x^2+\mathit{px}+q$ 的图象交点的横坐标分别是 $a$ 和 $b$ ，且 $a<3<b$ ，求 $m$ 的取值范围．

如图1，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 的底边 $\mathit{BC}$ 在 $x$ 轴上， $\mathit{BC}=8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $\mathit{OA}=2$ ，一动点 $E$ 从 $(3,0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达 $\mathit{OB}$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $\mathit{EF}$ 为边作正方形 $\mathit{EFGH}$ ，使正方形 $\mathit{EFGH}$ 和 $\mathit{\Delta ABC}$ 在 $\mathit{BC}$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t⩾0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $\mathit{AC}$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $\mathit{EFGH}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S=\frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $\mathit{AC}$ 的中点 $D$ ，连结 $\mathit{OD}$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2\sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $\mathit{OD}-\mathit{DC}-\mathit{CD}-\mathit{DO}$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．