2019年山东省青岛市中考数学试卷

$-\sqrt{3}$ 的相反数是 $($ 　　 $)$

下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 $($ 　　 $)$

2019年1月3日，我国"嫦娥四号"月球探测器在月球背面软着陆，实现人类有史以来首次成功登陆月球背面．已知月球与地球之间的平均距离约为 $384000\mathit{km}$ ，把 $384000\mathit{km}$ 用科学记数法可以表示为 $($ 　　 $)$

计算 ${(-2m)}^2·(-m·m^2+3m^3)$ 的结果是 $($ 　　 $)$

如图，线段 $\mathit{AB}$ 经过 $\odot O$ 的圆心， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 分别与 $\odot O$ 相切于点 $C$ ， $D$ ．若 $\mathit{AC}=\mathit{BD}=4$ ， $\angle A=45°$ ，则 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ 的长度为 $($ 　　 $)$

如图，将线段 $\mathit{AB}$ 先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转 $90°$ ，得到线段 $A\text{'}B\text{'}$ ，则点 $B$ 的对应点 $B\text{'}$ 的坐标是 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{BD}$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线， $\mathit{AE}\perp \mathit{BD}$ ，垂足为 $F$ ．若 $\angle \mathit{ABC}=35°$ ， $\angle C=50°$ ，则 $\angle \mathit{CDE}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

已知反比例函数 $y=\frac{\mathit{ab}}{x}$ 的图象如图所示，则二次函数 $y=a{x}^2-2x$ 和一次函数 $y=\mathit{bx}+a$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 $($ 　　 $)$

计算：$\frac{\sqrt{24}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}}-{\left(\sqrt{3}\right)}^0=$　　．

若关于$x$的一元二次方程$2x^2-x+m=0$有两个相等的实数根，则$m$的值为　　．

射击比赛中，某队员10次射击成绩如图所示，则该队员的平均成绩是　　环．

如图，五边形$\mathit{ABCDE}$是$\odot O$的内接正五边形，$\mathit{AF}$是$\odot O$的直径，则$\angle \mathit{BDF}$的度数是　　$°$．

如图，在正方形纸片$\mathit{ABCD}$中，$E$是$\mathit{CD}$的中点，将正方形纸片折叠，点$B$落在线段$\mathit{AE}$上的点$G$处，折痕为$\mathit{AF}$．若$\mathit{AD}=4\mathit{cm}$，则$\mathit{CF}$的长为　　$\mathit{cm}$．

如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走　　个小立方块．

请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：$\angle \alpha$，直线$l$及$l$上两点$A$，$B$．

求作：$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$，使点$C$在直线$l$的上方，且$\angle \mathit{ABC}=90°$，$\angle \mathit{BAC}=\angle \alpha$．

（1）化简：$\frac{m-n}{m}÷(\frac{m^2+n^2}{m}-2n)$；

（2）解不等式组$\left\{\begin{array}{c}1-\frac{1}{5}x⩽\frac{6}{5}\\ 3x-1<8\end{array}\right.$，并写出它的正整数解．

小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．

为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：$h)$，统计结果如下：

9，8，10.5，7，9，8，10，9.5，8，9，9.5，7.5，9.5，9，8.5，7.5，10，9.5，8，9，7，9.5，8.5，9，7，9，9，7.5，8.5，8.5，9，8，7.5，9.5，10，9.5，8.5，9，8，9．

在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：

睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）$m=$　　，$n=$　　，$a=$　　，$b=$　　；

（2）抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在　　组（填组别）；

（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于$9h$，请估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数．

如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道$\mathit{AB}$，栈道$\mathit{AB}$与景区道路$\mathit{CD}$平行．在$C$处测得栈道一端$A$位于北偏西$42°$方向，在$D$处测得栈道另一端$B$位于北偏西$32°$方向．已知$\mathit{CD}=120m$，$\mathit{BD}=80m$，求木栈道$\mathit{AB}$的长度（结果保留整数）．

（参考数据：$\sin 32°\approx \frac{17}{32}$，$\cos 32°\approx \frac{17}{20}$，$\tan 32°\approx \frac{5}{8}$，$\sin 42°\approx \frac{27}{40}$，$\cos 42°\approx \frac{3}{4}$，$\tan 42°\approx \frac{9}{10})$

甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．

（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？

（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？

如图，在$▱\mathit{ABCD}$中，对角线$\mathit{AC}$与$\mathit{BD}$相交于点$O$，点$E$，$F$分别为$\mathit{OB}$，$\mathit{OD}$的中点，延长$\mathit{AE}$至$G$，使$\mathit{EG}=\mathit{AE}$，连接$\mathit{CG}$．

（1）求证：$\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$；

（2）当$\mathit{AB}$与$\mathit{AC}$满足什么数量关系时，四边形$\mathit{EGCF}$是矩形？请说明理由．

某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量$y$（件$)$与销售单价$x$（元$)$之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求该商品每天的销售量$y$与销售单价$x$之间的函数关系式；

（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润$w$（元$)$最大？最大利润是多少？

（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？

问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“$L$”形纸片，图②是一张$a\times b$的方格纸$(a\times b$的方格纸指边长分别为$a$，$b$的矩形，被分成$a\times b$个边长为1的小正方形，其中$a⩾2$，$b⩾2$，且$a$，$b$为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在$2\times 2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于$2\times 2$的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在$3\times 2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在$3\times 2$的方格纸中，共可以找到2个位置不同的$2\times 2$方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在$3\times 2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有$2\times 4=8$种不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在$a\times 2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在$a\times 2$的方格纸中，共可以找到　$(a-1)$　个位置不同的$2\times 2$方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在$a\times 2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在$a\times 3$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在$a\times 3$的方格纸中，共可以找到　　个位置不同的$2\times 2$方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在$a\times 3$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

$\dots \dots$

问题解决：

把图①放置在$a\times b$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．$)$

问题拓展：

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为$a$，$b$，$c(a⩾2$，$b⩾2$，$c⩾2$，且$a$，$b$，$c$是正整数）的长方体，被分成了$a\times b\times c$个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到　　个图⑦这样的几何体．

已知：如图，在四边形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AB}//\mathit{CD}$，$\angle \mathit{ACB}=90°$，$\mathit{AB}=10\mathit{cm}$，$\mathit{BC}=8\mathit{cm}$，$\mathit{OD}$垂直平分$A$ $C$．点$P$从点$B$出发，沿$\mathit{BA}$方向匀速运动，速度为$1\mathit{cm}/s$；同时，点$Q$从点$D$出发，沿$\mathit{DC}$方向匀速运动，速度为$1\mathit{cm}/s$；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点$P$作$\mathit{PE}\perp \mathit{AB}$，交$\mathit{BC}$于点$E$，过点$Q$作$\mathit{QF}//\mathit{AC}$，分别交$\mathit{AD}$，$\mathit{OD}$于点$F$，$G$．连接$\mathit{OP}$，$\mathit{EG}$．设运动时间为$t\left(s\right)(0<t<5)$，解答下列问题：

（1）当$t$为何值时，点$E$在$\angle \mathit{BAC}$的平分线上？

（2）设四边形$\mathit{PEGO}$的面积为$S\left(c{m}^2\right)$，求$S$与$t$的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻$t$，使四边形$\mathit{PEGO}$的面积最大？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接$\mathit{OE}$，$\mathit{OQ}$，在运动过程中，是否存在某一时刻$t$，使$\mathit{OE}\perp \mathit{OQ}$？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由．