初中数学二次根式的化简求值试题

古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦 $-$ 秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p=\frac{a+b+c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ．如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A$ ， $\angle B$ ， $\angle C$ 所对的边分别记为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a=5$ ， $b=6$ ， $c=7$ ，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$6\sqrt{6}$

B．

$6\sqrt{3}$

C．

18

D．

$\frac{19}{2}$

"分母有理化"是我们常用的一种化简的方法，如： $\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=7+4\sqrt{3}$ ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 $\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$ ，设 $x=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$ ，易知 $\sqrt{3+\sqrt{5}}>\sqrt{3-\sqrt{5}}$ ，故 $x>0$ ，由 $x^2={(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})}^2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}-2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=2$ ，解得 $x=\sqrt{2}$ ，即 $\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{2}$ ．根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt{6-3\sqrt{3}}-\sqrt{6+3\sqrt{3}}$ 后的结果为 $($ 　　 $)$

A．

$5+3\sqrt{6}$

B．

$5+\sqrt{6}$

C．

$5-\sqrt{6}$

D．

$5-3\sqrt{6}$

计算：