初中数学二元一次方程组的应用解答题

重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称"堂食"小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称"生食"小面）．已知3份"堂食"小面和2份"生食"小面的总售价为31元，4份"堂食"小面和1份"生食"小面的总售价为33元．

（1）求每份"堂食"小面和"生食"小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出"堂食"小面4500份，"生食"小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份"堂食"小面的价格保持不变，每份"生食"小面的价格降低 $\frac{3}{4}a\%$ ．统计5月的销量和销售额发现："堂食"小面的销量与4月相同，"生食"小面的销量在4月的基础上增加 $\frac{5}{2}a\%$ ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加 $\frac{5}{11}a\%$ ．求 $a$ 的值．

我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．

（1）求甲、乙两种奖品的单价；

（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的 $\frac{1}{2}$，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

某运输公司有 $A$、 $B$两种货车，3辆 $A$货车与2辆 $B$货车一次可以运货90吨，5辆 $A$货车与4辆 $B$货车一次可以运货160吨．

（1）请问1辆 $A$货车和1辆 $B$货车一次可以分别运货多少吨？

（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排 $A$、 $B$两种货车将全部货物一次运完 $(A$、 $B$两种货车均满载），其中每辆 $A$货车一次运货花费500元，每辆 $B$货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．

为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．

（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；

（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元，要使先后购进的四大名著刚好配套（四大名著各一本为一套），那么这次最多购买《西游记》多少本？

为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对 $A$， $B$两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年 $A$、 $B$两个品种各种植了10亩．收获后 $A$、 $B$两个品种的售价均为 $2.4$元/kg，且 $B$品种的平均亩产量比A品种高100千克， $A$、 $B$两个品种全部售出后总收入为 $21600$元．

（1）求 $A$、 $B$两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 $a\%$和 $2a\%$．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 $a\%$，而A品种的售价保持不变， $A$、 $B$两个品种全部售出后总收入将增加 $\frac{20}{9}a\%$．求a的值．

为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．

（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；

（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？

今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．

（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？

（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．

2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：

型号 价格（元 $/$ 只） 项目	甲	乙
成本	12	4
售价	18	6

（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？

（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．

某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．

（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？

（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：

方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高 $20\%$，乙车间维持不变．

方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．

设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．

①求乙车间需临时招聘的工人数；

②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．

某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？

“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对 $A$， $B$两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年 $A$， $B$两个品种各种植了10亩．收获后 $A$， $B$两个品种的售价均为2.4元 $/\mathit{kg}$，且 $B$的平均亩产量比 $A$的平均亩产量高 $100\mathit{kg}$， $A$， $B$两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）请求出 $A$， $B$两个品种去年平均亩产量分别是多少？

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在 $A$， $B$种植亩数不变的情况下，预计 $A$， $B$两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 $a\%$和 $2a\%$．由于 $B$品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨 $a\%$，而 $A$品种的售价不变． $A$， $B$两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加 $\frac{20}{9}a\%$．求 $a$的值．

众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到 $A$地和 $B$地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：

目的地 车型	$A$地（元 $/$辆）	$B$地（元 $/$辆）
大货车	900	1000
小货车	500	700

现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往 $A$地，其余前往 $B$地，设前往 $A$地的大货车有 $x$辆，这20辆货车的总运费为 $y$元．

（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？

（2）求 $y$与 $x$的函数解析式，并直接写出 $x$的取值范围；

（3）若运往 $A$地的物资不少于140吨，求总运费 $y$的最小值．

众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到 $A$地和 $B$地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：

目的地 车型	$A$地（元 $/$辆）	$B$地（元 $/$辆）
大货车	900	1000
小货车	500	700

现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往 $A$地，其余前往 $B$地，设前往 $A$地的大货车有 $x$辆，这20辆货车的总运费为 $y$元．

（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？

（2）求 $y$与 $x$的函数解析式，并直接写出 $x$的取值范围；

（3）若运往 $A$地的物资不少于140吨，求总运费 $y$的最小值．

“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离 $y\left(m\right)$与步行时间 $x\left(\mathit{min}\right)$之间的函数关系式如图中折线段 $\mathit{AB}-\mathit{BC}-\mathit{CD}$所示．

（1）小丽与小明出发　　 $\mathit{min}$相遇；

（2）在步行过程中，若小明先到达甲地．

①求小丽和小明步行的速度各是多少？

②计算出点 $C$的坐标，并解释点 $C$的实际意义．

在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买 $A$、 $B$两种防疫物品．如果购买 $A$种物品60件， $B$种物品45件，共需1140元；如果购买 $A$种物品45件， $B$种物品30件，共需840元．

（1）求 $A$、 $B$两种防疫物品每件各多少元；

（2）现要购买 $A$、 $B$两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么 $A$种防疫物品最多购买多少件？