若函数 $y=f\left(x\right)$ 是函数 $y=a^x\left(a>0,且a\ne 1\right)$ 的反函数，其图像经过点 $\left(\sqrt{a},a\right)$ ，则 $f\left(x\right)=$ （ ）

A．

${\mathit{log}}_{2}x$

B．

${\mathit{log}}_{\frac{1}{2}}x$

C．

$\frac{1}{2^x}$

D．

$x^2$