如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y ²=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x ²+ $\frac{y^{2}}{4}$ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

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已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(- a, 0)$ .
（i）若 $|A B| = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角；
（ii）若点 $Q (0, y_{0})$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，且 $\overset{⇀}{Q A} = \overset{⇀}{Q B} = 4$ .求 $y_{0}$ 的值.

题型：未知
难度：未知

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（Ⅰ）若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上， $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

题型：未知
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如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A D E F$ 是正方形， $F A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B C ∥ A D$ ， $C D = 1$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B A D = ∠ C D A = 45 °$ .

（Ⅰ）求异面直线 $C E$ 与 $A F$ 所成角的余弦值；
（Ⅱ）证明 $C D ⊥$ 平面 $A B F$ ；
（Ⅲ）求二面角 $B - E F - A$ 的正切值。

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难度：未知

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其中直径在区间 $[1.48, 1.52]$ 内的零件为一等品。

（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.
（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率。

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在 $△ A B C$ 中， $\frac{A C}{A B} = \frac{\cos B}{\cos C}$ .
（Ⅰ）证明 $B = C$ ：
（Ⅱ）若 $\cos A$ =- $\frac{1}{3}$ ，求 $\sin (4 B + \frac{π}{3})$ 的值。

题型：未知
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