已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点， $A$ ， $B$ 分别为 $C$ 的左，右顶点． $P$ 为 $C$ 上一点，且 $\mathit{PF}\perp x$ 轴，过点 $A$ 的直线 $l$ 与线段 $\mathit{PF}$ 交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ．若直线 $\mathit{BM}$ 经过 $\mathit{OE}$ 的中点，则 $C$ 的离心率为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{3}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{2}{3}$

D．

$\frac{3}{4}$