在封闭的直三棱柱 $\mathit{ABC}-A_1{B}_1{C}_1$ 内有一个体积为 $V$ 的球，若 $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ， $A{A}_1=3$ ，则 $V$ 的最大值是 $($ 　　 $)$

A．

$4\pi$

B．

$\frac{9\pi }{2}$

C．

$6\pi$

D．

$\frac{32\pi }{3}$