已知函数(其中),若点是函数图象的一个对称中心.(1)试求的值;(2)先列表,再作出函数在区间上的图象.
在平面直角坐标系 x O y 上,给定抛物线 L : y = 1 4 x 2 .实数 p , q 满足 p 2 - 4 q ≥ 0 , x 1 , x 2 是方程 x 2 - p x + q = 0 的两根,记 φ ( p , q ) = m a x x 1 , x 2
(1)过点 A ( p 0 , 1 4 p 0 2 ) ( p 0 ≠ 0 ) 作 L 的切线教 y 轴于点 B .证明:对线段 A B 上任一点 Q ( p , q ) 有 φ ( p , q ) = p 0 2 ;
(2)设 M ( a , b ) 是定点,其中 a , b 满足 a 2 - 4 b > 0 , a ≠ 0 .过 M ( a , b ) 作 L 的两条切线 l 1 , l 2 ,切点分别为 E p 1 , 1 4 p 1 2 , E ` p 2 , 1 4 p 2 2 l 1 , l 2 与y轴分别交与 F , F ` .线段 E F 上异于两端点的点集记为 X .证明: M ( a , b ) ∈ X ⇔ P 1 > P 2 ⇔ φ ( a , b ) = p 1 2 ;
(3)设 D = ( x , y ) | y ≤ x - 1 , y ≥ 1 4 ( x + 1 ) 2 - 5 4 .当点 ( p , q ) 取遍 D 时,求 φ ( p , q ) 的最小值 (记为 φ m i n )和最大值(记为 φ m a x ).
设 b > 0 ,数列 a n 满足 a 1 = b , a n = n b a n - 1 a n - 1 + 2 n - 2 ( n ≥ 2 ) ,
(1)求数列 a n 的通项公式.
(2)证明:对于一切正整数 n , a n ≤ b n + 1 2 n + 1 + 1
F ( 5 , 0 ) 设圆 C 与两圆 ( x + 5 ) 2 + y 2 = 4 , ( x - 5 ) 2 + y 2 = 4 中的一个内切,另一个外切.
(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程.
(2)已知点 M ( 3 5 5 , 4 5 5 ) , F ( 5 , 0 ) 且 P 为 L 上动点,求 M P - F P 的最大值及此时点 P 的坐标.
如图,在锥体 P - A B C D 中,ABCD是边长为1的菱形,且 ∠ D A B = 60 ° , P A = P D = 2 , P B = 2 ,E,F分别是BC,PC的中点.
(1)证明: A D ⊥ 平面 D E F
(2)求二面角 P - A D - B 的余弦值
为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素 x , y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x , y 满足 x ≥ 175 且 y ≥ 75 ,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数 ξ 的分布列极其均值(即数学期望)。