已知函数(1)求函数的单调区间;(2)当时,,求实数的取值范围.
已经函数 f x = cos 2 x - sin 2 x 2 , g x = 1 2 sin 2 x - 1 4
(Ⅰ)函数 f x 的图象可由函数 g x 的图象经过怎样变化得出? (Ⅱ)求函数 h x = f x - g x 的最小值,并求使用 h x 取得最小值的 x 的集合。
已知函数 f ( x ) = a x + b x + c ( a > 0 ) 的图象在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程为 y = x - 1 .
(I)用 a 表示出 b , c ;
(II)若 f ( x ) ≥ ln x 在 [ 1 , + ∞ ) 上恒成立,求 a 的取值范围;
(III)证明: 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n > ln ( n + 1 ) + n 2 ( n + 1 ) ( n ≥ 1 ) .
已知数列 { a n } 满足: a 1 = 1 2 , 3 ( 1 + a n + 1 ) 1 - a n = 2 ( 1 + a n ) 1 - a n + 1 , a n a n + 1 < 0 ( n ≥ 1 ) ;数列 { b n } 满足: b n = a n + 1 2 - a n 2 ( n ≥ 1 ) .
(1)求数列 { a n } , { b n } 的通项公式;
(2)证明:数列 { b n } 中的任意三项不可能成等差数列。
如图,在四面体 A B O C 中, O C ⊥ O A , O C ⊥ O B , ∠ A O B = 120 ° , 且 O A = O B = O C = 1 .
(Ⅰ)设为 P 为 A C 的中点,证明:在 A B 上存在一点 Q ,使 P Q ⊥ O A ,并计算 A B A Q 的值; (Ⅱ)求二面角 O - A C - B 的平面角的余弦值.
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C (单位:万元)与隔热层厚度 x (单位: c m )满足关系: C x = k 3 x + 5 0 ≤ x ≤ 10 .若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设 f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。 (Ⅰ)求 k 的值及 f x 的表达式。 (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f x 达到最小,并求最小值。