一张长、宽分别为、的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它卷成圆

更新 2022-09-03
科目数学
题型填空题
难度较难
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一张长、宽分别为、的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它卷成圆柱，则此圆柱的体积为．

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如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 $a$ 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 $P$ 。如果将容器倒置，水面也恰好过点 $P$ （图2）。有下列四个命题：

A．	正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．	将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 $P$
C．	任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 $P$
D．	若往容器内再注入 $a$ 升水，则容器恰好能装满

其中真命题的代号是：

题型：未知
难度：未知

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过抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作倾角为 $30^{°}$ 的直线，与抛物线分别交于 $A, B$ 两点（ $A$ 在 $y$ 轴左侧），则 $\frac{A F}{F B} =$ 。

题型：未知
难度：未知

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直角坐标平面上三点 $A (1, 2) 、 B (3, - 2) 、 C (9, 7)$ ,若 $E 、 F$ 为线段 $B C$ 的三等分点,则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{A F} =$ .

题型：未知
难度：未知

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观察下列等式：
$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n {\sum i^{2}}_{i = 1}^{n} = \frac{1}{3} n^{2} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n, {\sum i^{3}}_{i = 1}^{n} = \frac{1}{4} n^{2} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{4} n^{2},$

$\sum_{i = 1}^{n} i^{4} = \frac{1}{5} n^{4} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{30} n,$

$\frac{2}{3} a_{n} + n - 4, b_{n} = {(- 1)}^{n} (a_{n} - 3 n + 21),$ ……………………………………
$\sum_{i = 1}^{n} i^{n} = a_{k + 1} n^{k + 2} + a_{k} n^{k} + a_{k - 1} n^{k - 1} + a_{k - 2} n^{k - 2} + \dots + a_{1} n + a_{0},$ 可以推测，当 $x \geq 2 (k \in N^{*})$ 时， $a_{k + 1} = \frac{1}{k + 1}, a_{k} = \frac{1}{2}, a_{k - 1} =$ ， $a_{k - 2}$ =。

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，等差数列 $\{a_{x}\}$ 的公差为2。若 $f (a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10}) = 4$ ，则 $\log_{2} [f (a_{1}) \cdot f (a_{2}) \cdot f (a_{3}) \cdot \dots \cdot f (a_{10})] =$ 。

题型：未知
难度：未知

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