【原创题】已知函数,且为偶函数．设集合．若，记在上的最大值与

更新 2022-09-03
科目数学
题型填空题
难度较难
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【原创题】已知函数,且为偶函数．设集合．若，记在上的最大值与最小值分别为,则

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观察下列不等式
$1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$

$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$ ，
$1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{5}{3}$ ……
照此规律，第五个不等式为

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设函数发 $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x}, x \geq 0 \\ {(\frac{1}{2})}^{x}, x < 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (- 4)) =$ .

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记 $[x]$ 为不超过实数 $x$ 的最大整数,例如 $[2] = 2, [1.5] = 1, [- 0.3] = - 1$ .设 $a$ 为正整数,数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1} = a$ ， $x_{n + 1} = [\frac{x_{n} + [\frac{a}{x_{n}}]}{2}] (n \in N^{*})$ ，现有下列命题：
①当 $a = 5$ 时，数列 $\{x_{n}\}$ 的前3项依次为5,3,2；
②对数列 $\{x_{n}\}$ 都存在正整数 $k$ ，当 $n \geq k$ 时总有 $x_{n} = x_{k}$ ；
③当 $n \geq 1$ 时， $x_{n} > \sqrt{a} - 1$ ；
④对某个正整数 $k$ ，若 $x_{k + 1} \geq x_{k}$ ，则 $x_{n} = [\sqrt{a}]$ .
其中的真命题有.（写出所有真命题的编号）

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椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $x = m$ 与椭圆相交于点 $A, B$ ，当 $△ F A B$ 的周长最大时， $△ F A B$ 的面积是.

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如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别是 $C D, C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A_{1} M$ 与 $D N$ 所成角的大小是.

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