（本小题满分14分）如图，已知椭圆的离心率为，F1、F2为其

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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（本小题满分14分）如图，已知椭圆的离心率为，F₁、F₂为其左、右焦点，过F₁的直线交椭圆于A、B两点，△F₁AF₂的周长为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）；

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已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）证明：对任意的 $t > 0$ ，存在唯一的 $s$ ，使 $t = f (s)$ ．
（3）设（2）中所确定的 $s$ 关于 $t$ 的函数为 $s = g (t)$ ，证明：当 $t > e^{2}$ 时，有 $\frac{2}{5} < \frac{\ln g (t)}{\ln t} < \frac{1}{2}$ ．

题型：未知
难度：未知

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已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 不是递减数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{+})$ ，且 $S_{3} + a_{3}, S_{5} + a_{5}, S_{4} + a_{4}$ 成等差数列．
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）设 $T_{n} = S_{n} - \frac{1}{S_{n}} (n \in N^{+})$ ，求数列 ${T_{n}}$ 的最大项的值与最小项的值．

题型：未知
难度：未知

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设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左，右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点．若，求的值．

题型：未知
难度：未知

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如图，四棱柱中，侧棱，，，，，为棱的中点．
（1）证明；
（2）求二面角的正弦值．
（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

题型：未知
难度：未知

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一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（2）再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为，求随机变量的分布列和数学期望．

题型：未知
难度：未知

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