（本小题满分10分）已知直线的参数方程为（其中为参数），曲线

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本小题满分10分）已知直线的参数方程为（其中为参数），曲线：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位。
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）在曲线上是否存在一点，使点到直线的距离最大?若存在，求出距离最大值及点.若不存在，请说明理由。

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ 且满足 $c \sin A = a \cos C$ .

（I）求角 $C$ 的大小；
（II）求 $\sqrt{3} \sin A - \cos (B + \frac{π}{4})$ 的最大值，并求取得最大值时角 $A, B$ 的大小．

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在数1和100之间插入 $n$ 个实数，使得这 $n + 2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n + 2$ 个数的乘积记作 $T_{n}$ ，再令 $a_{n} = \log (T_{n})$ , $n \geq 1$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \tan (a_{n}) \cdot \tan (a_{n - 1})$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份	2002	2004	2006	2008	2010
需求量（万吨）	236	246	257	276	286

（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 $y = b x + a$ ;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.

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设 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + a x^{2}}$ ，其中 $a$ 为正实数
（Ⅰ）当 $a = \frac{4}{3}$ 时，求 $f (x)$ 的极值点
（Ⅱ）若 $f (x)$ 为 $R$ 上的单调函数，求 $a$ 的取值范围。

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设直线 $l_{1} : y = k_{1} x + 1, l_{2} : y = k_{2} x - 1$ ,其中实数 $k_{1}, k_{2}$ 满足 $k_{1} k_{2} + 2 = 0$ ,
（I）证明 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交；
（II）证明 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点在椭圆 $2 x^{2} + y^{2} = 1$ 上.

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